Έστω ότι για τους πραγματικούς αριθμούς $alpha$ και $beta$ ισχύει: $$(\alpha+\beta)^3=\alpha^3+\beta^3$$ Τι συμπεραίνεται για τους $\alpha$ και $\beta$; Λύση. Θυμόμαστε την ταυτότητα: $$(\alpha+\beta)^3=\alpha^3+3\alpha^2\beta+3\beta\alpha^2+beta^3$$ Άρα για να ισχύει η υπόθεση θα πρέπει $3\alpha^2\beta+3\beta\alpha^2=0$. $$\Leftrightarrow 3(\alpha^2\beta+\beta\alpha^2)= 0$$ $$\Leftrightarrow \alpha^2\beta+\beta\alpha^2= 0$$ $$\Leftrightarrow \alpha\beta(\alpha+\beta)= 0$$ Επομένως: $$\alpha=0\…
read moreΣτο διπλανό σχήμα βλέπουμε δύο τρίγωνα ABΓ και AB’Γ για τα οποία ισχύει(???) το κριτήριο Π-Γ-Π για τα ίσα τρίγωνα. AB=AB’ ΑΓ: κοινή πλευρά Γ: κοινή γωνία Βλέπουμε όμως από το σχήμα ότι τα δύο τρίγωνα δεν είναι ίσα. Που βρίσκεται το…
read moreΆσκηση. Να υπολογίσετε τις παρακάτω τιμές χωρίς να βρείτε τις ρίζες $x_1,x_2$ της εξίσωσης: $x^2-5x+6=0$. $x_1+x_2$ $x_1\cdot x_2$ $x_1^2+x_2^2$ $x_1^3+x_2^3$ $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$ Λύση. Από τους τύπους του Vieta έχουμε: $x_1+x_2=S=5$ και $x_1\cdot x_2=P=6$ Επόμένως για το 3. έχουμε: $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1\cdot x_2=5^2-2\cdot 6=23$ Για το 4….
read moreΦυλλάδιο ασκήσεων στις κλασματικές εξισώσεις (Α’ Λυκείου, Γ’ Γυμνασίου) κλασματικες εξισωσεις by Kleanthis Xenitidis
read moreΆσκηση. Να αποδείξετε ότι η κίτρινη περιοχή έχει το ίδιο εμβαδόν με την μπλε περιοχή. gogeometry.com Λύση. Έστω $x$ η πλευρά του τετραγώνου, τότε η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου είναι $\frac{x}{2}$ και οι ακτίνες των τεσσάρων μικρών κύκλων είναι $\frac{x}{4}$. Παρατηρούμε ότι…
read moreΆσκηση. Έστω ABC ένα τυχαίο τρίγωνο και D ένα σημείο στην πλευρά AC. Οι κύκλοι που φαίνονται στο σχήμα είναι εγγεγραμένοι στα αντίστοιχα τρίγωνα. Να δείξετε ότι KL=HD. Πατήστε εδώ για να επεξεργαστείτε το σχήμα με το πρόγραμμα GeoGebra. gogeometry.com Λύση. Θυμίζουμε…
read moreΆσκηση Θεωρούμε το ορθογώνιο τρίγωνο $ABGamma$, προεκτείνουμε την πλευρά $BGamma$ προς το σημείο $B$ απόσταση ίση με την πλευρά $AB$ και προς το σημείο $Gamma$ απόσταση ίση με την πλευρά $AGamma$ (όπως το σχήμα). Να υπολογίσετε την γωνία $hat{Gamma A B’}$. Να…
read more