Άσκηση.
Έστω ABC ένα τυχαίο τρίγωνο και D ένα σημείο στην πλευρά AC. Οι κύκλοι που φαίνονται στο σχήμα είναι εγγεγραμένοι στα αντίστοιχα τρίγωνα. Να δείξετε ότι KL=HD.
Πατήστε εδώ για να επεξεργαστείτε το σχήμα με το πρόγραμμα GeoGebra.
Λύση.
Θυμίζουμε το παρακάτω θεώρημα σχετικά με τις εφαπτομένες ενός κύκλου από εξωτερικό του σημείο.
Τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου, που άγονται από σημείο εκτός αυτού είναι ίσα μεταξύ τους.
Επομένως έχουμε: $BK=BP, BL=BM, BO=BN$ και $DK=HQ$. Επιπλέον,
$$ \begin{eqnarray*}
\left.
\begin{array}{l}
CP=CQ\
CO=CH \end{array}\right}\Rightarrow CO-CP=CH-CQ \Rightarrow OP=HQ
\end{eqnarray*} $$
και
$$ \begin{eqnarray*}
left.
\begin{array}{l}
AN=AH\
AM=AR \end{array}\right}\Rightarrow AN-AM=AH-AR \Rightarrow MN=RH.
\end{eqnarray*} $$
Έχουμε:
$$\begin{eqnarray*}
KL &=& BK-BL\
&=& BP-BM\
&=& BO+OP-(BN+MN)\
&=& BO+OP-BN-MN\
&=& OP-MN\
&=& HQ-RH\
\Rightarrow RH&=&HQ-KL (1)
\end{eqnarray*}$$
Από το παραπάνω θεώρημα έχουμε $DR=DL$, επομένως
$\begin{eqnarray*}
DR&=&DL\
\Rightarrow DH+RH &=& KL+DK\
\Rightarrow DH+RH &=& KL+DQ\
(από (1)) \Rightarrow DH+HQ-KL&=& KL+DQ\
\Rightarrow DH+HQ-DQ &=& 2KL\
\Rightarrow DH+DH&=& 2KL\
\Rightarrow 2DH&=& 2KL\
\Rightarrow DH&=&KL.
\end{eqnarray*}$