Να βρείτε τον Γεωμετρικό τόπο των μέσων των χορδών της παραβολής $y^2=4x$ που έχουν συντελεστή λ=$\frac{1}{2}$.
Λύση.
Έστω η ευθεία $y=\frac{1}{2}x+\beta$. Τότε η χορδή με συντελεστή λ=$\frac{1}{2}$ προκύπτει από την τομή αυτής της ευθείας με την παραβολή. Έστω $A(x_1,y_1)$ και $B(x_2,y_2)$ τα δύο σημεία τομής. Τότε:
$\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{1}{2}$.
Όμως τα Α και Β ανήκουν στην παραβολή, άρα επαληθεύουν την εξίσωσή της, δηλαδή
$y_1^2=4x_1 \Rightarrow x_1=\dfrac{y^2_1}{4}$ και
$y_2^2=4x_2 \Rightarrow x_2=\dfrac{y^2_2}{4}$
Αντικαθιστούμε στην προηγούμενη σχέση,
$\dfrac{y_2-y_1}{\dfrac{y_2^2}{4}-\dfrac{y_1^2}{4}}=\dfrac{1}{2}$
$\\$
$\Rightarrow\dfrac{4(y_2-y_1)}{(y_2-y_1)(y_2+y_1)}=\dfrac{1}{2}$
$\\$
$\Rightarrow y_1+y_2=8$.
Επομένως για το μέσον $(x_M,y_M)$ των Α και Β έχουμε
$y_M=\dfrac{y_1+y_2}{2}=\dfrac{8}{2}=4$.
Άρα το μέσον των Α και Β κινείται πάνω στην ευθεία $y=4$. Από το σχήμα όμως παρατηρούμε ότι ο γεωμετρικός τόπος που ψάχνουμε είναι στο εσωτερικό της πραραβολής, άρα είναι η ημιευθεία $y=4$ για $x>4$.
Μια μικρη διόρθωση: Στην δεύτερη γραμμή είναι σημεία τομής και όχι σημεία επαφής.
Και μία παρατήρηση: Μπορει να ενσωματωθεί ένα αρχείο Geogebra στο αρθρο σου ώστε να βλέπει κανείς την κίνηση της χορδής;
σωστά !! (το διόρθωσα)
Στην παρακάτω διεύθυνση ανέρτησα το σχετικό αρχείο Geogebra
http://ggbm.at/NMjuHrcE
Αλλάζοντας το b (κάτω δεξιά) φαίνεται η κίνηση της χορδής.