Απλά Μαθηματικά

Άσκηση: Να αποδείξετε την παρακάτω πρόταση. Αν οι συναρτήσεις $f, g$ είναι παραγωγίσιμες στο $mathbb{R}$, και ισχύουν: $g(x)>0, acute{f }(x)g(x)<f(x)acute{g }(x) forall xin mathbb{R}, g(1)=g(3)$, τότε είναι $f(1)>f(3)$. Λύση: Θεωρούμε τη συνάρτηση $h$ με $h(x)=dfrac{f(x)}{g(x)}.$ Ισχύει: $acute{h }(x)=dfrac{acute{f }(x)g(x)-acute{g }(x)f(x)}{(g(x))^2}$ και $acute{h }(x)<0 $…

Άσκηση. Να βρείτε την περίμετρο του παρακάτω σχήματος. AB=4, BC=2 και AC=6. Λύση. Τα τόξα AB, AC και BC είναι ημικύκλια. Για να βρούμε την περίμετρο του σχήματος αρκεί να υπολογίσουμε το μήκος τους. Έστω $rho$ η ακτίνα που έχει το ημικύκλιο…

Άσκηση. Οι ευθείες a και b είναι παράλληλες και τα ευθύγραμμα τμήματα EC και EB διχοτομούν τις γωνίες $theta$ και $varphi$ αντίστοιχα. Τι γνωρίζουμε για την γωνία $hat{CEB}$; Λύση. Οι γωνίες $theta$ και $varphi$ είναι παραπληρωματικές, δηλαδή $theta + varphi=180mathring{}$. Διαιρούμε με το…

Άσκηση. Να αποδείξετε ότι κάθε διαγώνιος ενός κανονικού πενταγώνου είναι παράλληλη προς μία πλευρά του. Λύση: Αρκεί να δείξουμε ότι $hat{varphi}=hat{xi}$. Η γωνία $hat{varphi}$ είναι εγγεγραμμένη στον κύκλο και βαίνει σε τόξο $3cdot 72=216$, επομένως $hat{varphi}=108$. Η $hat{vartheta}$ βαίνει σε τόξο $2cdot 72=144$, επομένως…

Άσκηση. Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές και το ευθύγραμμο τμήμα BC είναι διάμετρος του κύκλου. Το σημείο D είναι ένα τυχαίο σημείο στο τόξο AC. Πόσες μοίρες είναι η γωνία φ;   Λύση. Η γωνία $hat{BAC}$ βαίνει σε ημικύκλιο,…